| 栏 目 导 航
| 首 页 |
| 高等数学课程介绍 |
| 高等数学教学大纲 |
| 高等数学教学日历 |
| 高等数学考核方式与标准 |
| 高等数学教学设计 |
| 高等数学学习指导 |
| 高等数学典型例题及练习 |
| 用Mathematica做高等数学 |
| Mathematica常用系统函数 |
| 常用积分公式 |
| 数学家简介 |
高等数学教学大纲
一、课程基本情况 开课单位：社科与数理部 课程编码：B110201 适应专业：高职高专工程类专业 修课方式：必修 总学时：96学时 考核方式：考试 教 材：侯风波 《高等数学(第四版)》 高等教育出版社出版 2014年7月 侯风波 《高等数学(第四版)练习册》 高等教育出版社出版 2014年7月 教学参考资料： 1. 侯风波.高等数学辅导教程(第四版)[M].北京:高等教育出版社出版,2014年 2. 侯风波.高等数学电子教案[M].北京:高等教育出版社出版,2003年 3. 侯风波.高等数学学习系统[M].北京:高等教育出版社出版,2003年 4. 侯风波.高等数学助学课件[M].北京:高等教育出版社出版,2003年 5. 侯风波.高等数学[M].北京:机械工业出版社出版,1997年 6. 同济大学数学教研室.高等数学[M].北京:高等教育出版社出版,1996年 7. D.休斯·哈雷特等.微积分[M].北京:高等教育出版社出版,1997年 8. 宣立新.高等数学[M].北京:高等教育出版社出版,1999年 9. 李心灿.高等数学(大专使用)[M].北京:高等教育出版社出版,1999年 10.李心灿.高等数学学习辅导书(大专使用)[M].北京:高等教育出版社出版,1999年 二、 课程的性质、任务和目的 高等数学课程是高职院校工科类各专业必修的一门重要的基础课和工具课。通过本课程的教学，为学生学习后继课程及消化理解工程原理与工程标准，解决实际问题，提高自学科学技术的能力提供必需的数学基础知识及常用的数学方法和数学软件。通过本课程的教学，培养学生的逻辑思维、空间想象、联想思维等思维能力。 三、课程的主要内容与学时分配 （一） 函数（2学时） 1． 函数：函数概念，函数的有界性，单调性，奇偶性及周期性，分段函数，复合函数，基本初等函数，初等函数，简单实际问题中的函数关系建立。（2学时） （二）极限与连续（8学时） 1. 极限的定义：函数极限概念，无穷小，无穷大概念及其相互关系，无穷小比较。（2学时） 2. 极限的运算：极限运算法则，两个重要极限。（2学时） 3. 函数的连续性：函数连续概念，间断点分类，初等函数连续性，闭区间上连续函数的最大最小值存在定理，介值定理，根的存在定理。（2学时） 4. 习题课：极限的运算，函数的连续性。（2学时） （三） 一元函数微分学（18+2*学时） 1． 导数的概念：导数概念及其几何意义，变化率举例，可导与连续关系。（2学时） 2． 导数的运算法则：导数的四则运算法则，复合函数的求导法则，导数的基本公式。（2学时） 3． 三个求导方法：隐函数所确定函数的导数，对数求导法，参数方程所确定函数的导数，高阶导数。（2学时） 4． 微分：微分概念，微分基本公式，微分运算，微分在近似计算中的应用。（2学时） 5． 洛必达法则和函数单调性：柯西中值定理，拉格朗日中值定理，洛必达法则，未定式 ， 的极限，函数单调性判别。（2学时） 6． 函数的极值与最值：函数的极值，极值的第一判别法则，极值的第二判别法则，函数极值求法，函数的最值，函数的最值求法，简单实际问题的最值的求解。（2学时） 7. 函数图形的描绘：函数的凹凸性，拐点，简单函数图形的描绘。（2学时） *8. 曲率：曲率和曲率半径的概念，曲率和曲率半径的求法。（2学时） 9．习题课：导数的概念与运算，函数的单调性、极值与最值。（4学时） （四） 一元函数积分学（16学时） 1． 不定积分的概念与性质：不定积分的概念，不定积分的性质，不定积分基本公式。（2学时） 2． 不定积分的积分方法：不定积分的第一换元积分法，不定积分的第二换元积分法，分部积分法，积分表使用。（2学时） 3． 定积分的概念：定积分定义，定积分性质，定积分几何意义。（2学时） 4． 微积分基本公式：原函数存在定理，微积分基本公式（牛顿－莱布尼茨公式）。（2学时） 5． 定积分的积分方法：定积分的换元积分法，定积分的分部积分法、广义积分。（2学时） 6． 定积分的几何应用：定积分的微元法，平面图形的面积，旋转体的体积，平面曲线弧长。（2学时） 7． 定积分的物理应用：变力做功，物体质量，液体压力等物理量的定积分表达式。（2学时） 8． 习题课：定积分的概念与运算，定积分的应用。（2学时） （五） 常微分方程（8学时） 1． 常微分方程的基本概念与分离变量法：常微分方程，常微分方程的的阶、常微分方程的的解，常微分方程的通解，初始条件，常微分方程的特解等基本概念，可分离变量的微分方程的解法。（2学时） 2． 一阶线性微分方程与可降阶的高阶微分方程：一阶线性微分方程的解法，特殊的高阶微分方程 ， ， 的降阶法。（2学时） 3． 二阶常系数线性微分方程：二阶线性微分方程解的结构，二阶常系数齐次线性微分方程的解法，自由项为多项式与指数函数之积的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。（2学时） 4．习题课：一阶微分方程及二阶常系数齐次线性微分方程的解法。（2学时） (六) 向量代数与空间解析几何（8学时） 1．空间直角坐标系与向量的概念：空间直角坐标系，向量，单位向量，向量的模，向量的方向余弦，向量的线性运算，向量的点积，向量的叉积，两个向量平行与垂直条件。（2学时） 2．平面与直线：平面的点法式方程，平面的一般式方程，直线的点向式方程，直线的一般式方程（2学时） 3．曲面与空间曲线：曲面方程的定义，球面方程，截痕法，抛物面方程，椭球面方程，锥面方程，以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程，母线平行于坐标轴的柱面方程及其图形。空间曲线，空间曲面关于坐标面的投影柱面及投影曲线。（2学时） 4．习题课：向量的点积与叉积，平面方程与直线方程。（2学时） （七）多元函数微分学（10+2*学时） 1．偏导数：多元函数概念，二元函数极限与连续的概念，偏导数概念，偏导数运算。（2学时） 2．全微分：全微分概念，全微分几何意义，复合函数的求导法则。（2学时） 3．偏导数的几何应用：隐函数的求导法则，曲线的切向量，曲面的法向量，曲线的切线和法平面，曲面的切平面与法线。（2学时） 4．多元函数极值与最值：多元函数极值概念，函数极值的求法，条件极值，拉格朗日乘数法，简单实际问题的最值应用。（2学时） *5. 方向导数：方向导数的概念，方向导数的计算，梯度的概念，梯度的计算。（2学时） 6．习题课：偏导数与全微分概念及运算，条件极值。（2学时） （八）多元函数积分学（6+2*学时） 1．二重积分：二重积分的概念，二重积分的性质，二重积分在直角坐标系下的计算方法，二重积分在极坐标系下的计算方法。（2学时） 2．对坐标的曲线积分：对坐标的曲线积分的定义，对坐标的曲线积分性质，对坐标曲线积分的计算。（2学时） *3．对坐标的曲面积分：对坐标的曲面积分的概念，对坐标的曲面积分的计算，高斯公式。（2学时） 4．习题课：二重积分概念及运算，对坐标的曲线积分概念。（2学时） （九）无穷级数（8+4*学时） 1．数项级数：无穷级数，级数收敛，级数发散，无穷级数的性质，正项级数的比较审敛法，正项级数的比值审敛法，交错级数审敛法，绝对收敛，条件收敛。（2学时） 2．幂级数：幂级数的概念，幂级数的收敛区间，幂级数的基本性质。（2学时） 3．函数展开成幂级数：泰勒公式，函数展开成泰勒级数的充要条件，用函数 ， ， 的麦克劳林展开式将一些简单函数展开成幂级数，幂级数的简单应用。（2学时） *4．以2?为周期的函数展开成傅立叶级数：傅立叶级数概念，将函数展开成傅立叶级数的充分条件，以2?为周期的函数展开成傅立叶级数。（2学时） *5．以2L为周期的函数展开成傅立叶级数：以2 L为周期的函数展开成傅立叶级数，定义在[-?，?]和[-L,L]上的函数展开成傅立叶级数，在（0，L）上将函数展开成正弦和余弦级数。（2学时） 6．习题课：正项级数审敛法，幂级数的敛散性，函数展开成幂级数。（2学时） （十）符号计算系统Mathematica及其应用（12学时） 1．Mathematica简介，用Mathematica作初等数学及微积分。（2学时） 2．上机实验（10学时） (1) 用Mathematica作初等数学。（2学时） (2) 用Mathematica求函数极限，求函数的导数, 求函数的单调区间及极值，凹凸区间及拐点，作函数图形，最值问题的数学模型，不定积分，求定积分，求广义积分，定积分应用中的数学模型。（2学时） (3) 用Mathematica进行常微分方程的求解，常微分方程组的求解，常微分方程应用中的数学模型，向量的运算，平面与直线，作三维图形。（2学时） (4) 用Mathematica, 求二元函数的极限，求偏导数与全微分，求二元函数极值，求二重积分与三重积分，多元函数微积分应用中的数学建模。（2学时） (5) 用Mathematica 对幂级数进行加、减、乘、除、复合、微分、积分运算，幂级数的展开，幂级数近似计算应用。（2学时） 课 时 分 配 表
序号 | 章节 | 课 时 分 配
理论课 | 习题课 | 上机 | 共 计
1 | 函数、极限与连续 | 8 | 2 |  | 10
2 | 一元函数微分学 | 14 | 4 |  | 18
3 | 一元函数积分学 | 14 | 2 |  | 16
4 | 常微分方程 | 6 | 2 |  | 8
5 | 向量与空间解析几何 | 6 | 2 |  | 8
6 | 多元函数微分学 | 8 | 2 |  | 10
7 | 多元函数积分学 | 4 | 2 |  | 6
8 | 无穷级数 | 6 | 2 |  | 8
9 | 符号计算系统Mathematica及其应用 | 2 |  | 10 | 12
合计 | 68 | 18 | 10 | 96
注：表中内容不包括带*号内容，如选带*号内容，课时另计。 四、课程教学基本要求及重点 1．函数教学基本要求 （1）理解函数的概念。 （2）了解函数的有界性、单调性、奇偶性及周期性。 （3）了解分段函数。 （4）了解复合函数的概念。 （5）掌握基本初等函数，理解初等函数的概念。 （6）能熟练列出简单问题的函数关系式。 单元教学重点： 函数的概念、基本初等函数 2．极限与连续教学基本要求 （1）理解函数的极限和左、右极限的描述性定义，了解两个极限存在准则。 （2）理解无穷小、无穷大概念与性质及其相互关系。 （3）掌握极限的四则运算法则，会用两个重要极限求极限，会对无穷小进行比较。 （4）理解函数连续概念，会判断间断点类型，了解初等函数的连续性，会用函数的连续性求初等函数的极限，了解闭区间上连续函数的最大最小值存在定理、介值定理、根的存在定理等性质。 单元教学重点： 极限与无穷小的概念，利用两个重要极限求极限，利用极限四则运算法则求极限，函数的连续性。 3．一元函数微分学教学基本要求 （1）掌握导数的概念，了解导数的几何意义，会用导数描述一些实际问题的变化率。 （2）掌握导数的运算法则和基本公式。 （3）掌握复合函数、隐函数、由参数方程确定的函数的导数的计算方法，掌握对数求导法，了解高阶导数概念，会求二阶导数及简单函数阶导数。 （4）掌握微分概念及微分运算法则，会用微分作简单的近似计算。 （5）了解中值定理，会用洛必达法则求未定式的极限，掌握函数单调性的判别方法。 （6）理解函数极值概念，掌握求函数极值与最值的方法，会求简单实际问题的最值。 （7）会判别函数图形的凹凸性与拐点，会求曲线的渐近线，会描绘简单函数的图形。 *（8）知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。 单元教学重点： 导数和微分的概念，导数的基本公式，导数和微分的运算法则, 拉格朗日（Lagrange）中值定理，洛必达（L’Hospital）法则，函数的单调性与极值，简单的最大值和最小值的应用题的求解。 4．一元函数积分学教学基本要求 （1）了解原函数与不定积分的概念，理解不定积分的性质，掌握不定积分基本公式。 （2）掌握不定积分两类换元积分法。 （3）掌握不定积分分部积分法，会求简单有理函数的积分。 （4）理解定积分的概念及其几何意义，理解定积分的性质。 （5）掌握牛顿－莱布尼茨公式，会求变上限积分函数的导数。 （6）掌握定积分的换元积分法和分部积分法。 （7）了解两类广义积分的概念及计算。 （8）掌握定积分应用的微元法，会用定积分的微元法求几何问题，会用定积分的微元法求物理问题及一些简单实际问题。 单元教学重点： 不定积分和定积分的概念，不定积分和定积分的换元积分法及分部积分法，牛顿－莱布尼茨公式，定积分的微元法及在某些几何量和物理量方面的应用。 5．常微分方程教学基本要求 （1）理解微分方程、方程的阶，方程的解、通解、初始条件和特解概念，掌握可分离变量微分方程及一阶线性微分方程的解法。 （2）了解可降阶的高阶微分方程解法，了解二阶常系数线性微分方程的通解结构，掌握二阶常系数线性齐次微分方程的解法。 （3）会求解自由项为的二阶常系数非齐次线性微分方程。 （4）会建立简单的微分方程模型，求解一些常见的实际问题。 单元教学重点： 微分方程的基本概念，可分离变量微分方程及一阶线性微分方程的解法，二阶常系数齐次线性微分方程的解法。 6．向量代数与空间解析几何教学基本要求 （1）理解空间直角坐标系概念，理解向量概念，了解向量的模和方向余弦，掌握用坐标表达式进行向量的线性运算。 （2）掌握向量的数量积与向量积，了解两向量的夹角及平行与垂直的条件。 （3）理解平面方程和直线方程，熟练掌握平面的点法式方程及直线的点向式方程的求法，会求一般的平面方程和直线方程。 （4）了解曲面方程的概念，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面，母线平行于坐标轴的柱面及常用的二次曲面方程和图形，了解空间曲线的参数方程及一般方程，会求简单的空间曲线在坐标面上的投影。 单元教学重点： 向量的概念，向量的坐标表示及运算，两个向量平行与垂直的充要条件。简单的平面方程与直线方程的确定，常用二次曲面的方程及其图形。 7．多元函数微分学教学基本要求 （1）理解多元函数概念，理解二元函数极限及连续概念。 （2）理解偏导数概念，会求二元初等函数的一、二阶偏导数。 （3）理解全微分概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件。 （4）会求复合函数和隐函数的偏导数，会求曲线的切线及曲面的切平面方程。 （5）理解二元函数极值概念，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单的最大值与最小值应用问题。 *（6）了解方向导数和梯度的概念。 单元教学重点： 多元函数的概念, 偏导数、全微分的概念, 复合函数的求导法则, 曲面的切平面与法线, 多元函数极值及一些简单的最大值和最小值的应用。 8．多元函数积分学教学基本要求 （1）理解二重积分的概念，了解二重积分的性质，掌握二重积分的计算方法，会用二重积分计算一些几何量（体积、曲面面积）和简单物理量（质量、质心等）。 （2）理解对坐标的曲线积分的概念，掌握对坐标的曲线积分的计算。 *(3)知道对坐标的曲面积分的概念，会求对坐标的曲面积分。 单元教学重点： 二重积分的概念，二重积分的计算方法（直角坐标，极坐标），对坐标的曲线积分的概念及计算方法。 9．无穷级数教学基本要求 （1）了解无穷级数的收敛与发散及收敛级数和的概念，了解级数收敛的必要条件及无穷级数的基本性质，了解几何级数和-级数的收敛性。 （2）会用正项级数的比较审敛法，比值审敛法，会用交错级数的莱布尼茨审敛法，了解绝对收敛与条件收敛的概念及绝对收敛与收敛的关系。 （3）理解幂级数收敛半径概念，掌握幂级数收敛半径及收敛区间的求法，了解幂级数的应用。 （4）会利用公式及性质将简单函数展开成幂级数。 （5）会将以2Pi为周期的函数展开成傅里叶级数。 单元教学重点： 无穷级数的基本性质, 幂级数的性质, 函数展开成幂级数 10．符号计算系统Mathematica及其应用教学基本要求 (1)了解Mathematica的主要功能，会用Mathematica作算术运算，代数运算，函数运算，解代数方程。 (2)掌握用Mathematica求函数极限，求函数的导数，会用Mathematica求函数的单调区间及极值，凹凸区间及拐点，作函数图形，解最值问题的数学模型。 (3)掌握用Mathematica求不定积分，求定积分，求广义积分，定积分应用中的数学模型。 (4) 掌握用Mathematica求解常微分方程，常微分方程组，会用Mathematica求解常微分方程应用中的数学模型。 (5)会用Mathematica进行向量的运算，平面与直线，作三维图形。 (6)掌握用Mathematica 求二元函数的极限，求偏导数与全微分，求二重积分与三重积分，会用Mathematica求二元函数极值，解多元函数微积分应用中的数学模型。 (7) 会用Mathematica对幂级数进行加、减、乘、除、复合、微分、积分运算。会解幂级数的展开，幂级数近似计算应用问题。 单元教学重点： 用Mathematica求函数极限，导数, 不定积分与定积分, 偏导数与全微分, 二重积分 五、实验课时分配表
序号 | 实验项目 | 课时 | 备注
1 | 用Mathematica作初等数学 | 2 |
2 | 用Mathematica求函数极限，求函数的导数， 求函数的单调区间及极值，凹凸区间及拐点，作函数图形，最值问题的数学模型，不定积分，求定积分，求广义积分，定积分应用中的数学模型 | 2 |
3 | 用Mathematica进行常微分方程的求解，常微分方程组的求解，常微分方程应用中的数学模型，向量的运算，平面与直线，作三维图形 | 2 |
4 | 用Mathematica求二元函数的极限，求偏导数与全微分，求二元函数极值，求二重积分与三重积分，多元函数微积分应用中的数学模型 | 2 |
5 | 用Mathematica对幂级数进行加、减、乘、除、复合、微分、积分运算。幂级数的展开，幂级数近似计算应用 | 2 |
合计 | 10 |
六、大纲说明与教法建议 1. 本大纲是结合三年制高职高专培养高技能人才的需要及近年来对高等数学课程的教研教改所取得的成果制订的，在制订过程中参考了本校历年制订的《高等数学教学大纲》。 2．在本课程的教学中，要从高职高专教育的培养目标出发，正确处理好“以应用为目的”和“以必需、够用为度”的关系，全面实现高等数学课程作为重要基础课和工具课的教学基本要求。同时，要注意与相关课程的配合与衔接。 3．本课程的教学要充分重视习题课的安排和课外作业的选择，要使学生有足够的复习和练习时间，及时地、正确地独立完成足够数量的课外作业，要结合教学内容特点培养学生独立学习习惯。 4．本课程的教学以掌握概念、强化应用、培养技能为教学重点。通过教学要实现传授知识和发展能力两方面的教学目的，能力培养要贯穿教学全过程。本课程关于能力方面的基本要求是：逐步培养学生具有比较熟练的基本运算能力、自学能力、综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力、初步的抽象概括问题的能力以及一定的逻辑推理能力。在教学的各个环节中，要充分注意引导学生通过对各种实际问题分析、建立数学模型及求解，掌握数学概念及方法的应用。在教学中要重点培养学生如下四方面的能力：一是用数学思想、概念、方法消化吸收工程概念和工程原理的能力；二是把实际问题转化为数学模型的能力；三是求解数学模型的能力；四是创造性思维的能力。培养学生用数学思想、概念、方法消化吸收工程概念和工程原理的能力，必须重视数学概念的教学；培养学生把实际问题转化为数学模型的能力，必须重视数学建模训练；培养学生求解数学模型的能力，必须结合计算机和数学软件包进行数学教学。另外，数学是最好的思维体操，作为数学教师应有意识地去结合教学内容培养学生的逻辑思维、类比思维、发散思维及联想思维等各种思维能力，帮助他们欣赏数学美。进而培养学生的创新能力。 5．要注意现代化教学手段的应用，特别是立体化教学包的运用, 发挥教与学两个方面的积极性和教师的主导作用，切实提高教学质量和教学效率，在规定的学时范围内，结合专业特点，保证大纲的贯彻执行。 6.适当注意数学自身的系统性和逻辑性，课程内容应具有较大的覆盖面，不同专业在保证必修内容的基础上，可以根据需要有所侧重和选择。 7．对难度较大的部分基础理论，不追求严格的论证和推导，只作简单说明。 8．对与实际应用联系较多的基础知识、基本方法和基本技能应重点加强。 9．注重基本运算的训练，不追求过分复杂的计算和变换。 10．本大纲所列各专业必修内容实际总学时不低于96学时，其中讲课与习题课比例约为4：1，上机实验10学时。课内、课外学时比例需达到1:1.5，以保证复习时间并完成总量不低于468题的课外作业。上机实验后, 必须有相应的课下上机作业。 11. 关于数学软件包建议结合教学进程分阶段安排, 一般一元微积分安排一次(2+4学时), 多元微积分安排一次(6学时) 。 12. 关于带*号内容的说明: (1)曲率和曲率半径的概念，曲率和曲率半径的求法。（2学时）-------机械类各专业必选。 (2)方向导数与梯度概念及计算。（2学时）--------热能工程类各专业必选。 (3)对坐标的曲面积分的概念与计算，高斯公式。（2学时）-------电气工程类各专业必选。 (4)傅立叶级数概念，将函数展开成傅立叶级数的充分条件，以2?为周期函数及定义在[-?，?]和[-L,L]上的函数展开成傅立叶级数，在（0，L）上将函数展开成正弦和余弦级数。（4学时）--------电气工程类及机械工程类各专业必选。 执行大纲时, 要认真研究不同级别的能力层次要求, 按照因材施教原则切实做到分级教学, 把握教学质量观。 13.对知识点的教学要求程度从高到低按如下三个级别进行描述： 概念﹑理论：“理解” ﹑“了解”﹑“知道” 运算方法：“熟练掌握” ﹑“掌握” ﹑“能” 。 “熟悉”相当于“理解”或“熟练掌握”。 14. 本大纲自2011/2012学年第一学期开始执行。 高等数学教研室 2011年9月20日 版权声明 ------------- 《高等数学辅助教学系统》光盘的版权属高等教育出版社所有。该软件未经软件版权所有者许可，任何人不得摘取其全部或部分用于商业目的或商业服务。高等教育出版社将依法追究各种侵权行为。 © 版权所有 翻版必究

地址：中国·河北省承德市开发区大学城承德石油高等专科学校 电话：0314－2377162 传真：0314－2377018